泛函的定义域是函数集

简单的说，泛函的定义域是函数集，值域是数集，也就是说，泛函是从函数空间到数域的一个映射。

实际上，推广开来，函数实际上是一种特殊的二元关系，二元关系是二阶笛卡尔积，所以函数集实际上是一个向量空间，所以泛函也可以说是从向量空间到标量的一个映射。

简而言之，泛函就是函数的函数。

泛函和函数的区别是：函数是变量和变量的关系，而泛函是变量和函数的关系。

泛函分析是研究无限维抽象空间的学科吗?

泛函分析是研究无限维抽象空间及其分析的学科。它是现代数学中发生根本性转折的最明显的表现。这种转折，堪与世纪把变量引入数学而导致微积分的产生相比拟。它概括了经典数学分析的重要概念和方法，又渗入量子物理学、现代工程技术和现代力学的营养。它综合运用分析的、代数的、几何的方法，研究分析数学、现代物理和现代工程技术中的许多问题。它的特点是探求一般性和统一性，这也是世纪数学的特征之一。它不是孤立的考察各个函数以及联系它们的关系和方程，而是把这些对象作为一个总体来研究，即研究函数空间和它们的变换，而古典分析是研究实数集合或复数集合上的函数的性质。泛函分析具有高度抽象的方法，即能把初看起来相距甚远的问题十分巧妙的统一起来进行研究。

泛函分析有力的推动了其他分析分支的发展，使整个分析领域的面貌发生了巨大变化。同时，对几何和拓扑也产生了重大影响。泛函分析的观点与方法还广泛渗透到其他科学与工程技术领域，泛函分析已经而且正在应用到广义矩量问题、统计力学、偏微分方程的存在唯一性定理以及不动点定理。泛函分析现在在变分法和连续紧群的表示论中都起着作用。它的内容还包含在代数、近似算法、拓扑和实变函数论中。